Formalismo hamiltoniano: invarianti e trasformazioni canoniche

Questo lavoro presenta alcuni aspetti fondamentali del formalismo hamiltoniano della meccanica classica, riportando le dimostrazioni dettagliate degli enunciati e delle formule presentate. Tra gli strumenti principali per lo studio della meccanica hamiltoniana vi sono le trasformazioni canoniche e gli invarianti canonici, quali le parentesi di Poisson e di Lagrange e gli invarianti di Poincaré. Il primo capitolo discute oggetti fondamentali invarianti sotto trasformazioni canoniche. Si affrontano le parentesi di Poisson e di Lagrange e si introduce inoltre la notazione simplettica, che consente di esprimere in forma compatta le relazioni fondamentali del formalismo. Vengono illustrati gli invarianti di Poincaré e il teorema di Liouville, per mostrare come le trasformazioni canoniche siano caratterizzate dalla proprietà di conservare determinate misure nello spazio delle fasi. Il secondo capitolo si concentra sulle trasformazioni canoniche sia nella versione infinitesima che nella versione finita. Si dimostra come le parentesi di Poisson, introdotte nel primo capitolo, svolgano il ruolo di commutatore dei flussi hamiltoniani. Si affrontano poi le trasformazioni finite introducendo le serie di Lie, che forniscono una formulazione elegante e generale delle trasformazioni continue nello spazio delle fasi. Si dimostrano le proprietà algebriche dell’operatore di Lie e di una sua semplice generalizzazione. Infine si arriva a derivare l’operatore di evoluzione tempo-ordinato nel contesto della meccanica classica, per poi mostrarne un esempio applicativo particolare riportandone i calcoli espliciti.