(Co)omologia di gruppi ed il Teorema di Schur–Zassenhaus

La coomologia dei gruppi è uno strumento fondamentale nella matematica moderna, con applicazioni che spaziano dalla topologia alla teoria dei numeri, passando per la geometria algebrica e la teoria delle rappresentazioni. Questa tesi si concentra sull'applicazione della coomologia dei gruppi alla teoria delle estensioni, con un focus particolare sui teoremi di Baer e di Schur-Zassenhaus. La tesi è strutturata in quattro capitoli principali. Il primo capitolo introduce i concetti fondamentali dell'algebra omologica: complessi di catene e cocatene, le risoluzioni proiettive e i funtori derivati. Il secondo capitolo applica questi concetti alla teoria dei gruppi, definendo l'omologia e la coomologia di gruppi attraverso i funtori Tor e Ext, e introducendo la risoluzione standard per calcolare i gruppi di coomologia di grado piccolo. Il terzo capitolo esamina le estensioni di gruppi, con particolare attenzione alle estensioni con nucleo abeliano, e dimostra come i gruppi di coomologia siano strettamente legati alla classificazione delle estensioni di gruppi. Infine, il quarto capitolo applica i risultati teorici ottenuti per dimostrare il teorema di Schur-Zassenhaus, un risultato fondamentale nella teoria dei gruppi che fornisce condizioni sufficienti per l'esistenza di complementi per un sottogruppo normale.