Growth of Sobolev Norms of Solutions to NLS on Closed Riemannian Manifolds

After a brief introduction on the local/global well-posedness theory for the nonlinear Schrödinger equation (NLS) on compact manifolds, we use available Strichartz estimates and suitable "modified energies" to investigate the growth of higher-order Sobolev norms of solutions to the NLS with polynomial nonlinearity (i.e. $|u|^{p-1}u$) on generic 2 and 3 dimensional closed Riemannian manifolds. We provide polynomial in time bounds on the growth of higher-order Sobolev norms of solutions to the $2d$ case with odd nonlinearity $p=2n+1$, $n\in\mathbb{N}$, and exponential in time bounds in the cubic $3d$ case. Moreover, we show that the $H^2$ norm of the solution to the sub-cubic NLS on 3-dimensional manifolds grows at most polynomially in time. Dopo una breve introduzione alla teoria della buona posizione locale/globale dell'equazione di Schrödinger nonlineare (NLS) su varietà compatte, andremo ad utilizzare le stime di Strichartz e le "energie modificate" adeguatamente definite per studiare la crescita delle norme Sobolev delle soluzioni di NLS su varietà Riemanniane chiuse di dimensione 2 o 3, aventi nonlinearità di tipo polinomiale (ovvero della forma $|u|^{p-1}u$). Forniremo stime a priori sulla crescita temporale di tali norme che risulta essere al più polinomiale nel caso 2-dimensionale con nonlinearità dispari $p=2n+1$, $n\in\mathbb{N}$, e al più esponeziale nel caso 3-dimensionale con nonlinearità cubica. Inoltre, mostreremo che la norma Sobolev $H^2$ della soluzione di una NLS sub-cubica nel caso 3-dimensionale ha crescita al più polinomiale nel tempo.