Formule di media per soluzioni delle equazioni di tipo Kolmogorov-Fokker-Planck

La presente tesi si propone di analizzare in modo approfondito le formule di media associate agli operatori di Kolmogorov, una classe di operatori differenziali parabolici degeneri di rilevanza fondamentale nella teoria dei processi stocastici e nelle loro applicazioni multidisciplinari. Caratterizzati dalla proprietà di ipoellitticità, tali operatori consentono di descrivere l'evoluzione temporale di sistemi dinamici, nonostante la diffusione sia limitata a specifiche variabili. L’indagine si focalizza sull’estensione delle formule di media, sviluppate originariamente nel contesto del Laplaciano e dell’operatore del calore, agli operatori di Kolmogorov con coefficienti costanti. La metodologia adottata combina strumenti analitici consolidati, quali il teorema della divergenza e la formula di co-area, con il metodo della discesa di Hadamard, per ottenere formule generalizzate caratterizzate da nuclei regolari. Questi risultati permettono di esplorare proprietà fondamentali delle soluzioni, tra cui la disuguaglianza di Harnack, il principio del massimo forte e un teorema di tipo Liouville, adattandole al contesto subellittico. L’analisi include inoltre uno studio dettagliato delle simmetrie intrinseche degli operatori di Kolmogorov, come traslazioni a sinistra rispetto ad una legge di gruppo e dilatazioni, e del loro impatto sul comportamento delle soluzioni, integrando stime asintotiche e considerazioni qualitative. Articolata in cinque capitoli, la tesi offre una trattazione sistematica degli strumenti analitici e dei risultati principali della teoria degli operatori ipoellittici, mettendo in evidenza il ruolo centrale delle formule di media nello studio delle equazioni differenziali parziali degeneri. Le applicazioni discusse confermano la versatilità di tali strumenti nell’analisi delle equazioni alle derivate parziali subellittiche, delineando prospettive per futuri sviluppi teorici e applicativi.