Funzioni generatrici e loro applicazioni al calcolo combinatorio

Questo elaborato si pone lo scopo di introdurre le funzioni generatrici e di mostrare alcune loro applicazioni al calcolo combinatorio. Nel primo capitolo vengono definite le serie formali di potenze e le operazioni tra di esse; vengono poi definite formalmente le funzioni generatrici ordinarie ed esponenziali associate a una data successione. Il secondo capitolo vede un'interessante applicazione delle funzioni generatrici, il principio di inclusione esclusione, un risultato che permette, dati un insieme di oggetti e un insieme di proprietà che tali oggetti possono avere, di calcolare quanti di essi verificano esattamente un dato numero di proprietà a partire dal numero di oggetti per cui vale un certo insieme di proprietà. Successivamente viene dimostrata la formula esponenziale; questo teorema viene poi utilizzato per studiare i numeri di Stirling di prima specie e per determinare la funzione generatrice per i numeri di Bell. Nell'ultimo capitolo viene infine approfondito un altro aspetto delle funzioni generatrici, cioè la possibilità di considerarle anche come funzioni di variabile complessa. Viene mostrato come, studiando le singolarità di una funzione generatrice per una data successione, si possa dedurre il comportamento asintotico dei termini della successione. In particolare, vengono presentati alcuni esempi in cui tali singolarità sono di tipo polo.