Le 1-forme olomorfe sulle superfici iperellittiche

Il presente lavoro di tesi è dedicato allo studio geometrico e analitico delle superfici di Riemann iperellittiche. Partendo dalla definizione algebrica di curva affine, viene presentata una costruzione rigorosa della superficie di Riemann associata, affrontando in dettaglio le problematiche topologiche legate all'incollamento delle carte locali. Si dimostra come il processo di compattificazione, ottenuto "tappando i buchi" e includendo i punti all'infinito, sia condizione necessaria per dotare la superficie della struttura di varietà compatta di Hausdorff. Tale proprietà topologica costituisce il fondamento per la successiva analisi dello spazio vettoriale delle 1-forme differenziali olomorfe. Attraverso l'applicazione del Teorema di Riemann-Roch, si determina la dimensione di tale spazio e se ne costruisce una base esplicita, evidenziando la diretta corrispondenza tra il genere della superficie e la struttura polinomiale che la definisce.