Fibrazioni e torri di Postnikov

La tesi ha come obiettivo l’introduzione ad alcuni strumenti centrali nella teoria dell’omotopia. L’oggetto di questa teoria sono i gruppi di omotopia di ordine superiore, che descrivono il comportamento tramite deformazioni continue delle sfere n-dimensionali all’interno di uno spazio topologico. Si tratta dell’estensione naturale del concetto di gruppo fondamentale a dimensioni superiori. Dopo aver introdotto la nozione di gruppo di omotopia di ordine superiore, nella tesi viene introdotta la teoria dei fibrati, ossia una generalizzazione della teoria dei rivestimenti – in cui la fibra non è necessariamente discreta. I fibrati vengono definiti tramite una proprietà detta di trivialità locale. Da un punto di vista omotopico è conveniente lavorare con una versione meno “rigida” dei fibrati detta fibrazione. Per questa ragione nel capitolo successivo, vengono introdotte le fibrazioni, ossia mappe che godono della proprietà di sollevamento delle omotopie rispetto ad ogni spazio. Dopo aver dimostrato che ogni mappa può essere resa una fibrazione (a meno di omotopia) tramite le nozioni di spazio dei cammini e di spazio dei lacci, l’ultimo capitolo della tesi verte sulla teoria delle torri di Postnikov nell’ambito dei complessi CW. Le torri di Postnikov permettono di decomporre un complesso CW in spazi che hanno gruppi di omotopia “troncati” da un certo indice in poi. Questo permette di costruire spazi topologici a partire da proprietà omotopiche assegnate. Vengono presentati risultati di esistenza ed esempi. La tesi si conclude con dei cenni ad alcune applicazioni della teoria delle torri di Postnikov al calcolo di gruppi di omotopia di ordine superiori di complessi CW finiti semplicemente connessi che non siano contraibili.