La forma di Maurer-Cartan e applicazioni alle teorie di gauge

La seguente tesi si dà l’obiettivo di introdurre il contesto matematico necessario per studiare le teorie di gauge da un punto di vista geometrico, ponendo particolare attenzione alla forma di Maurer-Cartan. Il quadro matematico delle teorie di gauge è la geometria differenziale, di cui l’elaborato presenta diversi concetti fondamentali, tra cui le varietà differenziabili, gli spazi tangenti e cotangenti, i campi vettoriali e covettoriali. Definiamo e studiamo le strutture matematiche di gruppo di Lie e algebra di Lie. Proseguendo, studiamo la forma di Maurer-Cartan, definita sui gruppi di Lie, vedendone la forma per gruppi di matrici e dando anche qualche cenno sui fibrati. Infine, definiamo una teoria di gauge come una connessione su un fibrato principale e studiamo, come esempi, due teorie di gauge con gruppi di simmetria U(1) e SU(2)