Introduzione alle Geometrie di Klein

Nel XIX secolo l’emergere delle geometrie non-euclidee ha messo in discussione il quinto postulato di Euclide, aprendo la strada a nuove concezioni di geometrie che non lo includessero a priori, come ad esempio la geometria affine, proiettiva e iperbolica. Felix Klein propose una classificazione unificata di tali geometrie attraverso il noto Programma di Erlangen, nel quale caratterizza una geometria come un'azione transitiva di un gruppo di trasformazioni su una varietà. In questa prospettiva, una geometria è definita dalle proprietà invarianti rispetto al gruppo che agisce su di essa. Tale visione getta le basi per le successive generalizzazioni: la geometria di Riemann, che introduce la curvatura dello spazio, e la geometria di Cartan, che estende ulteriormente il concetto tramite la nozione di connessione su fibrati principali. Lo studio delle geometrie di Klein rappresenta dunque un punto di partenza fondamentale per comprendere l’evoluzione moderna del concetto di spazio geometrico.