Il problema di Lüroth: l’esempio di Artin e Mumford

Questa tesi si occupa del problema di Lüroth, un fondamentale problema di classificazione in geometria algebrica che chiede se ogni varietà unirazionale sia anche razionale. Dopo una rassegna storica dei risultati noti in dimensione 1 e 2, ci si concentra sui controesempi in dimensione 3, in particolare sulla costruzione di Artin e Mumford (1972). Viene presentata in dettaglio la loro varietà, un rivestimento doppio di P^3 ramificato lungo una superficie quartica singolare, dimostrandone l’unirazionalità ma non la razionalità stabile. Inizieremo introducendo i concetti fondamentali di geometria algebrica, tra cui le nozioni di razionalità e unirazionalità. Successivamente, presenteremo alcuni strumenti di topologia algebrica utili per lo studio delle varietà complesse. Discuteremo quindi i rivestimenti ciclici di varietà algebriche e, infine, costruiremo esplicitamente il controesempio.