Sulla positività del volume simpliciale nelle varietà iperboliche

L'obiettivo di questa tesi è di dimostrare un teorema di Gromov e Thurston sul volume delle varietà iperboliche. Gli ingredienti fondamentali per comprendere tale risultato sono la topologica algebrica, la geometria Riemanniana (in particolare, quella iperbolica) e il volume simpliciale (un invaiante omotopico introdotto da Gromov). Nel primo capitolo introduciamo il concetto di grado di una mappa continua tra varietà topologiche e ne studiamo le sue proprietà. Il secondo capitolo invece è dedicato a introdurre il volume simpliciale. Come anticipato, il volume simpliciale è un invariante per omotopia definito per ogni varietà topologica chiusa, connessa ed orientabile che intuitivamente misura la difficoltà di rappresentare la classe fondamentale tramite cicli reali. Nel terzo capitolo innanzitutto dimostriamo il Teorema di Killing-Hopf, che fornisce una fondamentale caratterizzazione delle varietà Riemanniane complete a curvatura costante. Successivamente, mostriamo che ogni superfice chiusa, connessa ed orientabile può essere dotata di una metrica con curvatura costante. Infine discutiamo alcuni risultati sui simplessi geodetici nello spazio iperbolico. L'ultimo capitolo invece è dedicato alla dimostrazione e ai corollari del teorema di Gromov e Thurston, il quale afferma che per ogni varietà iperbolica chiusa, connessa ed orientabile il volume Riemanniano è direttamente proporzionale al volume simpliciale. Questo risultato stabilisce un profondo collegamento tra la topologia e la geometria delle varietà iperboliche. Infatti, il volume Riemanniano è una quantità metrica mentre il volume simpliciale è una quantità puramente topologica, addirittura invariante per omotopia. Come corollario diretto abbiamo l'invarianza omotopica del volume nelle varietà iperboliche chiuse, connesse e orientabili. Alla fine della tesi viene discusso un altro corollario dovuto a Gromov che stabilisce un risultato non banale sulla collassabilità delle varietà iperboliche.