Sugli automorfismi delle superfici di Riemann

L’obiettivo di questa tesi è studiare gli automorfismi delle superfici di Riemann, ovvero le simmetrie olomorfe che preservano la struttura complessa della superficie. Dopo un'introduzione alle superfici di Riemann e alle mappe olomorfe tra di esse, vengono classificati i gruppi di automorfismi delle superfici di Riemann di genere 0 e 1. Successivamente si introduce il linguaggio delle azioni di gruppo sulle superfici di Riemann e si dimostra il teorema di Hurwitz che stabilisce un limite superiore all’ordine di un gruppo finito che agisce su una superficie di Riemann compatta e connessa di genere g ≥ 2. Vengono poi introdotti strumenti fondamentali come le 1-forme e i divisori su superfici di Riemann, e si analizzano i punti di Weierstrass, punti speciali che rivelano proprietà peculiari delle superfici su cui si trovano. Tutti questi elementi confluiscono nella formulazione e nella dimostrazione del Teorema di Schwarz, secondo cui, per ogni superficie di Riemann connessa e compatta di genere g ≥ 2, il gruppo degli automorfismi è finito. Combinando questo risultato con il teorema di Hurwitz, si ottiene che il gruppo degli automorfismi di una superficie di Riemann compatta e connessa di genere g ≥ 2 è un gruppo finito di ordine al più 84(g − 1).