Amenabilità, matchings e il paradosso di Banach-Tarski

L’obiettivo principale di questa tesi è quello di arrivare a dimostrare il celebre paradosso di Banach-Tarski percorrendo una strada ampia, che includa i vari ambiti di studio che devono la propria nascita proprio all’elaborazione di tale paradosso. La pubblicazione del Teorema di Banach-Tarski (1929), che riformula in chiave più completa e generale il precedente Teorema della sfera di Hausdorff (1914), generò infatti una lunga serie di studi successivi in molteplici ambiti della matematica. Per questa ragione la tesi è difficilmente inquadrabile in un unico settore di studio, presentando un ampio ventaglio di temi, tutti uniti dal filo rosso dell’essere nati dall’esigenza di approfondire la natura del paradosso della sfera o dell’essere necessari alla sua comprensione. Partiremo dunque da una presentazione approfondita del concetto di amenabilità, studiandone le possibili definizioni, analizzando le proprietà dei gruppi amenabili e proponendo una serie di esempi e controesempi. Passeremo poi a parlare di problemi di matching e a presentare i risultati di Hall in tale ambito, in una sezione apparentemente svincolata dal resto, ma necessaria al fine di dimostrare il Teorema di Tarski-Følner, di fondamentale importanza ai fini di questa tesi. Per arrivare a mostrare tale enunciato, che caratterizza definitivamente la nozione di amenabilità, l’intero quarto capitolo sarà incentrato sulla presentazione delle decomposizioni paradossali e delle sequenze di Følner. Una volta trattate tutte le premesse necessarie, arriviamo infine a mostrare nel dettaglio il paradosso della sfera nella sua primissima versione, quella di Hausdorff, e affrontiamo infine la versione del paradosso nella sua forma più celebre, quella di Banach e Tarski, con un piccolo rimando ad altre fonti.