Topological Properties of the Wasserstein Metrics

In questa tesi verranno introdotte tre tra le più famose distanze probabilistiche. Nel secondo capitolo verrà affrontata maggiormente la distanza di Levy-Prokhorov che teoricamente è fondamentale in quanto metrizza la convergenza debole su uno spazio metrico separabile. Inoltre se lo spazio X è Polacco si mostrerà che anche P(X) lo è. Infine, nell'ultimo capitolo, si parlerà delle metriche di Wasserstein, denominate con Wp, definite su uno spazio Polacco X. In seguito si definirà lo spazio di Wasserstein, Pp(X), in cui ogni misura ha momento p-esimo finito, su cui Wp risulterà essere effettivamente una distanza. Verranno viste diverse proprietà di queste metriche, la prima è che possiede una definizione duale molto importante, utile in certe applicazioni. La seconda è la relazione con la convergenza debole di misure in Pp. Viene definita una caratterizzazione che risulterà essere più forte della convergenza debole in senso classico, dal momento che si chiederà la convergenza anche dei momenti p-esimi, e ne seguirà un teorema che afferma che se \mu_n converge a \mu in Wp, questo è equivalente a \mu_n converge debolmente a \mu in Pp. Infine verrà mostrato che anche Pp(X) è Polacco. I punti chiave sono la separabilità e la completezza. Ogni misura sarà approssimabile a una misura discreta con supporto finito e ogni successione di Cauchy è convergente in Wp. Per mostrare quest'ultimo fatto verrà utilizzato un lemma