On Representations of Quivers and Kac's Theorem

Questo lavoro tratta le rappresentazioni dei quiver e il teorema di Kac. Si forniscono tutti gli strumenti fondamentali della teoria delle rappresentazioni dei quiver, dopodiché si enuncia il teorema di Gabriel e si procede a sviluppare la teoria necessaria alla sua generalizzazione, cioè il teorema di Kac. In particolare vengono trattati nel dettaglio i diagrammi di Dynkin e i sistemi di radici a loro associati. Vengono classificati i diagrammi di Dynkin utilizzando la corrispondenza con le matrici di Cartan generalizzate, e vengono descritte le algebre di Lie, note come algebre di Kac-Moody, associate ai diagrammi di Dynkin. Utilizzando tecniche di teoria di Lie si studiano le proprietà dei sitemi di radici. In seguito viene trattato il problema dell'orientazione. Si procede poi a studiare lo spazio delle rappresentazioni indecomponibili a meno di isomorfismo, che equivale a studiare lo spazio delle orbite di una varietà rispetto all'azione di un gruppo algebrico. In particolare si dà un risultato sulla dimensione di tale spazio delle orbite. Si conclude infine con la dimostrazione del teorema di Kac, prima nella sua formulazione per campi finiti e poi per campi algebricamente chiusi, utilizzando un classico argomento di riduzione modulo p.