Il teorema di Bayer-Billera sugli f-vettori di bandiera

L’obiettivo di questa tesi è dimostrare che la dimensione dello spazio affine generato dagli f-vettori di bandiera di un poset Euleriano di rango d è F_{d}-1, dove F_{d} indica il d-esimo numero di Fibonacci. Questo teorema è stato dimostrato da M. Bayer e L. J. Billera nel 1983, costruendo una famiglia di d-politopi i cui f-vettori di bandiera siano una base. Nel primo capitolo daremo una breve introduzione generale sui politopi convessi e introdurremo il concetto di f-vettore e h-vettore. Nel secondo capitolo parleremo di insiemi parzialmente ordinati (poset). In particolare, ci concentreremo sui poset Euleriani e mostreremo come generalizzare le equazioni di Dehn-Sommerville per questo tipo di poset. Nel terzo capitolo ci occuperemo di studiare tre operazioni dei politopi convessi: la piramide, la bipiramide e la suddivisione stellare di un politopo simpliciale rispetto ad una sua faccia. Per ognuno di questi casi descriveremo anche la struttura dell’h-vettore di questi politopi. Nel quarto capitolo dimostreremo il teorema di Bayer-Billera sugli f-vettori di bandiera, osservando che anche la dimensione dello spazio affine generato dagli f-vettori di bandiera di d-politopi è F_{d}-1.