Il ruolo del differenziale da Deleuze alle strutture sub-Riemanniane

Questo elaborato presenta alcuni aspetti delle tesi filosofiche di Deleuze e Guattari, dandone un’interpretazione matematica basata principalmente sui lavori di Citti, Sarti e Piotrowski. Nel capitolo 1 presentiamo il problema del divenire differenziale: introduciamo la nozione di virtuale e la sua attualizzazione, che interpretiamo rispettivamente come vincoli differenziali che si attualizzano tramite processi d’integrazione. Nel capitolo 2 presentiamo le varietà differenziabili: introducendo la nozione di campi vettoriali e commutatore fra di loro, e soffermandoci in particolare sui gruppi di Lie, come esempio di Varietà. Nel capitolo 3 vengono dapprima descritte le varietà riemanniane, con le nozioni di metrica e distanza Riemanniana, e poi sono definite le varietà sub-Riemanniane. La geometria di queste ultime è costituita da una terna (M, ∆, g) dove ∆ è un sottofibrato del fibrato tangente, chiamato fibrato tangente ammissibile, e tutti gli oggetti differenziali dello spazio sono descritti in termini di campi vettoriali appartenenti a questo fibrato. Presentiamo in particolare la condizione di connettività di Hormander, che garantisce che per ogni coppia di punti, la distanza sub-Riemanniana sia finita. Infine, nel capitolo 4 mostriamo in che senso le varietà sub-Riemanniane consentono la descrizione di strutture eterogenee e la nozione di rizoma introdotte da Deleuze e Guattari.