Una versione continua del paradosso di Banach-Tarski

Questa tesi si occupa del paradosso di Banach-Tarski, e di un suo raffinamento, il quale asserisce la possibilità di decomporre una palla nello spazio in un numero finito di pezzi che, tramite soli movimenti rigidi, possono essere ricomposti ottenendo due palle. Dopo alcune nozioni di algebra lineare, vengono classificate le matrici nel gruppo ortogonale speciale nxn e mostrato come, per n=3, l’esistenza di un suo sottogruppo libero su due generatori conduca al paradosso. Seguono una generalizzazione ad ogni insieme limitato e con parte interna non vuota, dimostrando che un tale insieme può essere decomposto in un numero finito di pezzi fino a ricomporre un qualsiasi altro insieme con le stesse proprietà, muovendo i pezzi tramite soli movimenti rigidi. Si estende poi il paradosso in dimensione maggiore di 3, e si mostra come la connessione del gruppo ortogonale speciale permetta di realizzare decomposizioni paradossali muovendo i pezzi istante per istante, sostituendo ad un singolo movimento rigido un cammino continuo nel gruppo, e in modo che i pezzi non si incrocino mai durante questo procedimento.