I Teoremi di Cartan-Hadamard e di Gromov in geometria metrica

L’oggetto principale di questa tesi sono gli spazi CAT(0). Introdurremo concetti base come geodetica, lunghezza, angolo e triangolo in spazi metrici, che serviranno per parlare degli spazi CAT(0) e studiarne le proprietà. Capiremo come trasferire una metrica su un rivestimento, che servirà per enunciare il Teorema di Cartan-Hadamard, che afferma che la nozione locale di curvatura non positiva si estende globalmente sul rivestimento universale. Definiremo alcune costruzioni di spazi metrici, come i complessi metrici e il cono su uno spazi metrico. Sarà presente anche una breve introduzione sugli spazi CAT(1), che ci servirà per enunciare il Criterio di Gromov, il quale darà una condizione per determinare se un complesso metrico ha curvatura non positiva. Ci soffermeremo in particolare sui complessi metrici 2-dimensionali, con la costruzione di alcuni esempi.