Noise and Chaos

Mostriamo che per comprendere gli effetti spettrali di una dinamica caotica, intesa come evoluzione indecomponibile su di uno scheletro periodico, è utile sviluppare una descrizione quantomeccanica. I sistemi hamiltoniani in bagno termico nel limite di alta viscosità risultano essere i migliori candidati a tale scopo. Lo spettro risulta essere puramente discreto ed esibisce una transizione statistica quando la corrispondente dinamica classica passa da integrabile a non. Tramite un approccio perturbativo otteniamo che l’irregolarità classica introduce degli accoppiamenti che inducono una repulsione tra i livelli energetici. La più o meno sviluppata caoticità sulle superfici energetiche e gli effetti tunnel puramente quantistici/stocastici mettono in contatto zone altrimenti isolate ed indipendenti dello spazio delle fasi. Questo si riflette in una statistica spettrale più correlata. Viene poi proposta una possibile tecnica per ottenere in modo computazionalmente efficiente le quantità statistiche rilevanti per il nostro studio. Assumendo come valida l’ipotesi ergodica, si sfruttano delle medie microcanoniche, ottenute da singole evoluzioni su una dinamica di riferimento, per il calcolo di potenze spettrali di altre hamiltoniane, intese come osservabili. Questo è reso possibile dall’isomorfismo tra funzioni e flussi fornito dalla struttura simplettica. In un’ottica di matrici random (il candidato migliore per descrivere spettri caotici), tale tecnica sembrerebbe permettere efficienti constatazioni spettrali della presenza di dinamiche caotiche. Congetturando un diretto collegamento tra la statistica spettrale e gli esponenti di Lyapunov, questi potrebbero essere efficientemente stimati senza alcuna ricostruzione della dinamica tangente.