A Birkhoff's Theorem on closed geodesics

Le curve geodetiche sono ampiamente studiate nel calcolo delle variazioni. Infatti, data una varietà Riemanniana, si dimostra che una geodetica è una curva sulla varietà che minimizza localmente la distanza tra due punti. Data una varietà Riemanniana possiamo definire il funzionale lunghezza L e il funzionale energia E sullo spazio delle curve lisce a tratti su tale varietà: le geodetiche sulla varietà sono tutti e soli i punti critici di tali funzionali. Poiché il funzionale E ha buone proprietà di regolarità, in letteratura si è soliti studiare questo funzionale piuttosto che il funzionale L. Dunque, dimostare l'esistenza di una geodetica equivale a dimostrare l'esistenza di un punto critico per il funzionale energia. Entra così in gioco l'Analisi Matematica e, in particolare, il calcolo differenziale su spazi di Banach e su varietà dette di Finsler (ovvero varietà differenziabili modellate su spazi di Banach e dotate di una struttura di Finsler, una sorta di generalizzazione della metrica Riemanniana). Di grande rilievo è la nozione di Condizione di Palais-Smale (PS), una condizione di compattezza da cui segue il Principio di Minimax; quest'ultimo è un notevole risultato di esistenza per punti critici di un funzionale che verifica opportune ipotesi, tra cui la stessa (PS). Una applicazione molto interessante del Principio di Minimax è proprio il Teorema di Birkhoff, ovvero l'esistenza di geodetiche chiuse non costanti su una superficie diffeomorfa alla sfera 2-dimensionale. Infatti, data una suddetta superficie, è possibile considerare lo spazio delle curve chiuse con energia finita. Si può dimostrare che tale spazio ha una struttura di varietà di Finsler e che il funzionale energia su di esso definito verifica la condizione di Palais-Smale e tutte le altre ipotesi del Principio di Minimax. Se ne deduce l'esistenza di un punto critico, ovvero una geodetica chiusa, e tramite un argomento di topologia è possibile dimostrare che tale curva non è costante.