A geometric approach to the study of quantum systems: Berry’s phase and topological quantum computation

Il seguente elaborato si propone l’obiettivo di esplicitare ed analizzare le strutture geometriche che sottostanno ai processi fisici, in particolare quelli quantistici. Saranno definiti i concetti di geometria differenziale e topologia necessari, e l’analisi verrà condotta partendo dall’introduzione del concetto di fase di Berry, una fase acquisita dallo stato del sistema dopo aver compiuto un ciclo adiabatico. La sua scoperta, a opera del fisico M. V. Berry nei primi anni ’80, è infatti storicamente riconosciuta come una svolta nel mondo della fisica, poiché ha sancito l’importanza della geometria nello studio di fenomeni fisici. Questo concetto verrà approfondito esplorando la sua natura nel contesto dei fibrati U(1), per poi ampliarlo formulando l’esistenza di una fase di Berry “non-Abeliana”. Altrettanta attenzione sarà data a quelli che sono gli aspetti geometrici e, soprattutto in questo caso, topologici, quando verrà presentato il concetto di computazione quantistica topologica. Questa metodologia di computazione potenzialmente rivoluzionaria mira a sfruttare le proprietà topologiche di particolari particelle, dette anyoni non-Abeliani, per ottenere tecnologie quantistiche immuni — o, quantomeno, particolarmente resistenti — alla decoerenza quantistica, una delle fonti di errore maggiormente complesse da gestire nel caso di computazione quantistica “convenzionale”. Nel complesso, verrà dunque condotto uno studio di sistemi quantistici dal punto di vista matematico-geometrico, partendo da definizioni formali, passando per la descrizione di alcuni casi applicativi, fino all’impiego di questo approccio in vere e proprie applicazioni pratiche.