Whitehead product and configuration spaces

In questa tesi, introduciamo i gruppi di omotopia di ordine superiore pi_n(X) di uno spazio topologico X, estendendo il concetto del gruppo fondamentale pi_1(X). I gruppi di omotopia contribuiscono alla classificazione di spazi topologici e sono profondamente collegati ad altri concetti in topologia algebrica, come ad esempio ai gruppi di omologia. Vengono inoltre introdotti i gruppi di omotopia relativa, che estendono la teoria a coppie di spazi (X,A) e si dimostra l’esistenza della successione esatta lunga di omotopia relativa. Introduciamo alcuni metodi di calcolo dei gruppi di omotopia, in particolare ci concentriamo sull’uso degli spazi fibrati e dimostriamo l’esistenza di una successione esatta lunga per i gruppi di omotopia degli spazi coinvolti nella fibrazione. Un altro argomento trattato è il prodotto di Whitehead, un'operazione bilineare sui gruppi di omotopia. Dopo averne introdotto la definizione, ne vengono analizzate alcune proprietà elementari, come la biadditività, la commutatività graduata e l'identità di Jacobi, che evidenziano il suo ruolo nel collegare la teoria dei gruppi di omotopia con le strutture algebriche: infatti il prodotto di Whitehead dota i gruppi di omotopia di una struttura di algebra di Lie graduata. La tesi prosegue con un'introduzione alla teoria degli spazi di configurazioni. Vengono analizzati in dettaglio gli spazi di configurazioni di varietà F_k(M), dotandoli di una struttura di spazio fibrato e costruendo sezioni per studiare i loro gruppi di omotopia. Si esaminano poi gli spazi di configurazioni di R^{n+1} con n>1, analizzando la fundamental fiber sequence per cui costruiamo sezioni. Infine, viene dimostrato che i gruppi di omotopia di tali spazi possono essere espressi come somme dei gruppi di omotopia di bouquet di sfere. Si identificano i generatori di questi gruppi e il loro comportamento sotto l'azione del gruppo simmetrico, enunciando infine le relazioni di Yang-Baxter.