Risoluzione per serie di sistemi lineari di equazioni differenziali

Le equazioni differenziali rivestono un ruolo centrale non solo in matematica, ma anche in quasi tutti i settori della scienza, dell’ingegneria e dell’economia: sono ad esempio in grado di descrivere il flusso di corrente in un conduttore, il moto di un missile, la diffusione di malattie o il tasso di crescita della popolazione di alcune specie. In questa tesi, è centrale la risoluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie tramite l’utilizzo di serie di potenze: inizialmente la matrice dei coefficienti e il termine noto sono funzioni analitiche in un certo τ ∈ R, detto punto ordinario. Dopo aver dimostrato l’esistenza di una soluzione sviluppabile in serie di potenze in un intorno del punto ordinario, i risultati ottenuti vengono estesi a generiche equazioni di ordine n: sarà così analizzata e risolta l’equazione del secondo ordine di Legendre. Infine, si considerano sistemi lineari omogenei del primo ordine in cui il coefficiente del termine di ordine uno si annulla in un certo τ ∈ R: se la matrice dei coefficienti è analitica e diversa da 0 in τ, questo viene chiamato punto singolare del primo tipo. I risultati ottenuti in precedenza non sono più adatti a risolvere sistemi del genere, quindi viene enunciato e dimostrato il teorema principale dell’intero elaborato che consente di far fronte a tale problematica. Dopo aver mostrato la connessione tra punti singolari del primo tipo per sistemi lineari omogenei e punti singolari regolari per equazioni lineari omogenee a coefficienti analitici di ordine n, il nuovo metodo di risoluzione, anche detto metodo di Frobenius, viene esteso a queste ultime per poi essere applicato all’equazione di Bessel, del secondo ordine.