Complex weighted projective spaces and Kaluza Klein theories

Nel corso di questo elaborato tratteremo la teoria di Kaluza Klein, essa unifica gravità ed elettromagnetismo sfruttando le proprietà geometriche dello spazio. Nello specifico si basa sull’assumere l’universo come localmente composto da cinque dimensioni di cui quattro spaziali e una temporale ponendo la quarta dimensione spaziale come cerchio sull’ordinario spazio di Minkowski quadridimensionale (M4 × S1). Questo unito alle condizioni di periodicità e invarianza necessarie nella quinta dimensione permette diverse considerazioni fisiche. Prima di affrontare il caso gravitazionale ci concentreremo sul caso scalare e vettoriale andando a studiare come campi appunto scalari e vettoriali nelle cinque dimensioni, così strutturate, producano diversi oggetti matematici nelle sole quattro dello spazio di Minkowski. Il caso gravitazionale prevederà l’aggiunta della descrizione metrica dello spaziotempo cinque-dimensionale e noteremo come questo porti ad oservare, nello spazio quadrimensionale, non solo un campo gravitazionale ma anche uno elettromagnetico e uno scalare ottenendo così l’unificazione voluta. Per finire tratteremo gli spazi proiettivi pesati e le loro varietà: enti matematici necessari ad una trattazione più moderna delle idee proposte da Kaluza e Klein. In questa parte daremo alcune definizione, lemmi e teoremi fondamentali per una prima comprensione dell’argomento, per poi passare ad un esempio svolto.