Coomologia di de Rham e isomorfismo con la coomologia singolare

L'obiettivo di questa tesi è quello di analizzare il legame tra la topologia di una varietà e il suo complesso delle forme differenziali. Questo legame è espresso dal Teorema di de Rham, che si va a collocare in quella famiglia di teoremi che evidenziano un legame tra proprietà topologiche e differenziali delle varietà, quali i teoremi di Poincaré-Hopf o di Riemann-Roch. Nel primo capitolo introduciamo il problema in un contesto più semplice, analizzando il caso di 1-forme su aperti dello spazio euclideo, dando una prima debole versione del teorema di de Rham e mostrando come questo possa essere usato per il calcolo del primo gruppo di coomologia. Nel prima parte del secondo capitolo diamo una definizione generale di forme differenziali su varietà. Nella seconda parte costruiamo il differenziale esterno, che nel complesso coomologico delle forme giocherà il ruolo di differenziale. Il ponte tra la coomologia delle forme differenziali e la coomologia delle catene singolari è la possibilità di integrare le prime lungo le seconde. Per questa ragione nel terzo capitolo affrontiamo l'argomento dell'integrazione di forme. Nel quarto capitolo introduciamo la coomologia di de Rham. Nella prima sezione ci dedichiamo a due risultati: la coomologia dello spazio euclideo e il classico teorema di Mayer-Vietoris. L'obiettivo della seconda sezione è quello di mostrare una versione del Teorema di Stokes che in questa tesi abbiamo denominato Teorema di Stokes per l'integrazione su catene, e che ci permetterà di dimostrare la buona positura dell'omomorfismo di de Rham. Una volta dimostrato che quest'ultimo sia un isomorfismo, i risultati classici della topologia algebrica come la dualità di Poincaré, il teorema di Künneth e l'invarianza per omotopia seguono. Concludiamo la tesi mostrando come l'utilizzo delle forme permetta di calcolare le algebre di coomologia del toro e dello spazio proiettivo complesso.