Introduzione e applicazioni alla teoria delle classi di Chern

Questa tesi si propone di introdurre la teoria delle classi di Chern, evidenziando la potenza di questi strumenti nel mondo della geometria algebrica, in modo particolare nei calcoli e nelle applicazioni. Introdotte nel 1935 da Whitney per fibrati reali, le classi caratteristiche fanno il loro ingresso nella geometria complessa con Shiing-Schen Chern, il quale estende al caso complesso l'idea di associare ad un fibrato una classe in coomologia sulla varietà in questione. Chern ne dà una definizione intrinseca, mostrando come questi oggetti permettono di decodificare importanti invarianti topologici. Come esempio chiave, riportiamo la caratteristica di Eulero-Poincaré, che, nella generalizzazione dovuta a Chern del teorema di Gauss-Bonnet, si presenta nei termini dell'ultima classe di Chern del fibrato tangente alla varietà. In questa tesi le classi di Chern vengono introdotte in un contesto algebro-geometrico, seguendo l’approccio assiomatico proposto da Alexander Grothendieck, che nel suo La théorie des classes de Chern mostra come la teoria di Chern si può costruire partendo da 4 assiomi e sfruttando il principio di spezzamento. Queste classi caratteristiche ricoprono quindi un ruolo centrale nella geometria complessa e algebrica, che si esprime particolarmente nella generalizzazione del Teorema di Riemann-Roch dovuta a Hirzebruch, il quale nel 1954 estende la formula - nata per le curve e poi estesa al caso delle superfici algebriche, a varietà complesse compatte di qualsiasi dimensione e fibrati di qualsiasi rango, riscrivendola nei termini delle classi di Chern di quest’ultimi. La potenza di questa versione del teorema risiede, tra le altre cose, nella possibilità di ricavare in maniera semplice e diretta le versioni precedenti con semplici manipolazioni algebriche, come vedremo nel corso della trattazione. La tesi si conclude mostrando come il conto di classi di Chern porti a ricavare il classico risultato delle 27 rette nella cubica liscia proiettiva.