Coxeter systems and the combinatorial invariance conjecture

La tesi si occupa di introdurre i gruppi di Coxeter, i polinomi di Kazhdan-Lusztig e la congettura di invarianza combinatorica. In particolare, diamo la dimostrazione di un risultato parziale riguardante la congettura pubblicato da F. Brenti, F. Caselli e M. Marietti. Nel primo capitolo si studiano le proprietà principali dei gruppi di Coxeter, come la Proprietà di Scambio Forte, la rappresentazione geometrica e le proprietà principali dell'ordinamento di Bruhat. Il capitolo termina con la classificazione dei gruppi di Coxeter finiti. Nel secondo capitolo si introduce il concetto di algebra di Hecke di un gruppo di Coxeter e si definiscono gli R-polinomi e i polinomi di Kazhdan-Lusztig, studiando le proprietà principali degli R-polinomi. Nel terzo capitolo viene definito il concetto di special matching di un insieme parzialmente ordinato e si studiano nel dettaglio nel caso di gruppi di Coxeter di rango tre. Si usano successivamente i risultati ottenuti per descrivere tutti gli special matching su un intervallo nell'ordinamento di Bruhat di un gruppo di Coxeter arbitrario. Si conclude usando i risultati ottenuti sugli special matching per fornire una dimostrazione della congettura di invarianza combinatorica per i lower intervals.