L'Integrale di Daniell

In questa Tesi si presenta la Teoria dell'integrazione formulata dal matematico Percy John Daniell; egli sviluppò la sua Teoria senza l'utilizzo della nozione di misura ma basandosi principalmente su quelli che noi definiremo funzionali. Nel secondo Capitolo si presentano i concetti base per lo sviluppo della Teoria di Daniell e, usando tali strumenti, si provano alcuni risultati necessari per i capitoli successivi. Il terzo Capitolo si focalizza sulla dimostrazione dei teoremi classici dell'integrazione quali il Teorema della convergenza monotona per l'integrale di Daniell, il Lemma di Fatou per l'integrale di Daniell e il Teorema della convergenza dominata per l'integrale di Daniell. Inoltre, sempre nel terzo Capitolo, si espongono alcuni risultati che caratterizzano le funzioni Daniell-integrabili; il Capitolo si conclude mettendo in luce il legame tra la Teoria di Daniell e la Teoria della Misura, con il noto Teorema di Daniell-Stone. Nel quarto e ultimo Capitolo della Tesi si illustrano due applicazioni della Teoria di Daniell: nella prima si fa vedere come costruire, sotto certe ipotesi, l'integrale di Lebesgue ''alla Daniell'', mentre nella seconda si usano gli strumenti dei capitoli precedenti per cercare una candidata soluzione del Problema di Dirichlet associato al Laplaciano in dimensione due.