Il Teorema di Riesz per l'integrale di Riemann-Stieltjes

Questa tesi si propone di analizzare il Teorema di Riesz per l'integrale di Riemann-Stieltjes, un risultato cruciale in Analisi Funzionale che stabilisce una corrispondenza tra i funzionali lineari continui su un intervallo compatto e le funzioni a variazione limitata, utilizzando gli integrali di Riemann-Stieltjes. Verrà esaminata la definizione di questo integrale, considerando funzioni integrande e integratrici entrambe limitate su un intervallo compatto. Il Teorema di Riesz afferma che, dato un qualsiasi funzionale lineare continuo definito sullo spazio delle funzioni continue su un intervallo compatto, esiste una funzione a variazione limitata tale che il funzionale può essere rappresentato come un integrale rispetto a questa funzione. Questo stabilisce una corrispondenza tra funzionali lineari continui e funzioni a variazione limitata. Per dimostrare il teorema, saranno introdotti concetti come i polinomi di Bernstein e i Teoremi di Helly, che offrono risultati sulla convergenza di famiglie di funzioni a variazione limitata. Sarà anche discussa una dimostrazione alternativa del Teorema di Riesz basata sul Teorema di Hahn-Banach, e verrà considerata una generalizzazione del teorema per funzionali lineari continui su spazi di funzioni continue definite su insiemi compatti arbitrari.