An Introduction to Sheaf Theory and the Foundations of Condensed Mathematics

La tesi si occupa di presentare da un punto di vista categorico la teoria dei fasci di insiemi e una sua applicazione notevole data dagli insiemi condensati. Nel primo capitolo vengono introdotte alcune nozioni di teoria delle categorie, come limiti, aggiunzioni e la definizione di categoria abeliana. Il secondo capitolo si occupa di definire i fasci di insiemi e di analizzarne la struttura, più precisamente presentando le nozioni di spiga e di fascio di sezioni e dimostrando l'aggiunzione determinata dai funtori componenti il funtore di fascificazione. Infine si dimostra un'aggiunzione tra la categoria dei fibrati e quella dei prefasci, che si restringe a un'equivalenza di categorie su fibrati ètale e prefasci. Il terzo capitolo si preoccupa di definire le topologie di Grothendieck su una categoria generica tramite i setacci di morfismi. Si definiscono quindi fasci su un sito generico, ossia su una categoria dotata di topologia di Grothendieck. Nell'ultimo capitolo si considera il sito degli insiemi profiniti e si analizzano i fasci su tale sito, detti insiemi condensati. Si presenta un funtore fedele, pienamente fedele su spazi topologici compattamente generati, che associa ad ogni spazio topologico un insieme condensato; ciò permette di utilizzare gli insiemi condensati in luogo degli spazi topologici in ambito omologico. Infine, si dimostra che la categoria degli insiemi abeliani condensati è una categoria abeliana che rispetta gli assiomi di Grothendieck (AB3), (AB3*), (AB4), (AB4*), (AB5) e (AB6).