Hurwitz Theory: From Representations to Tropical Geometry

La teoria di Hurwitz, introdotta da Adolf Hurwitz nel XIX secolo, si concentra sul conteggio delle mappe tra superfici di Riemann una volta fissati gli invarianti discreti. Questo documento introduce tale teoria e i suoi collegamenti con altre aree della matematica, come combinatoria, geometria tropicale e teoria delle rappresentazioni. Il primo capitolo presenta le basi delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Hurwitz, che lega gli invarianti discreti all'esistenza di mappe olomorfe. Il secondo capitolo introduce i numeri di Hurwitz, la teoria dei rivestimenti e il teorema di esistenza di Riemann, collegando la monodromia alle mappe olomorfe. Il terzo capitolo tratta la teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti, stabilendo un legame con i numeri di Hurwitz. Viene presentata la formula di Burnside, uno degli strumenti più potenti per calcolare questi numeri, e accennato al potenziale di Hurwitz. Si discute infine della teoria di Hurwitz tropicale, introdotta per la prima volta da Renzo Cavalieri, Paul Johnson e Hannah Markwig nel loro articolo del 2010 "Tropical Hurwitz Numbers".