Studio del fenomeno di Gibbs

L'elaborato fornisce una spiegazione in termini matematici dell'effetto Gibbs, ovvero la presenza di forti oscillazioni dei polinomi di Fourier in prossimità di punti di discontinuità di prima specie di funzioni approssimate. Viene studiata la convergenza puntuale e uniforme di tali polinomi e successivamente vengono dati due esempi di funzioni che presentano punti di discontinuità di prima specie e si osserva come si comporta il fenomeno di Gibbs: l'ampiezza dell'oscillazioni supera il salto della funzione, non fornendo così un'approssimazione precisa della funzione. Si definiscono quindi le somme di Fejér, particolari polinomi che eliminano l'effetto Gibbs grazie ad un nuovo tipo di convergenza: la convergenza secondo Cesaro. Si dimostra come il fenomeno non si presenti se si approssimano le funzioni con tali polinomi. Nonostante ciò, spesso si preferisce approssimare funzioni che presentano punti di discontinuità di prima specie con i polinomi di Fourier perché tra tutti i polinomi trigonometrici sono quelli che meglio approssimano la funzione in norma quadratica.