La Disuguaglianza Isodiametrica

In questo elaborato si approfondisce il concetto di misura e dimensione di Hausdorff, richiamando anche nozioni base della misura, in particolare la misura di Lebesgue. L’obiettivo di questa tesi è quello di dimostrare che ogni insieme n-dimensionale reale soddisfa la disuguaglianza isodiametrica, e si utilizza poi questo risultato per provare che la misura di Hausdorff è equivalente a quella di Lebesgue in R^n. Si studierà inoltre la simmetrizzazione di Steiner, strumento necessario alla dimostrazione della disuguaglianza isodiametrica. Si mostrerà che gli unici insiemi isodiametrici, cioè quelli che verificano l’uguaglianza nella disuguaglianza citata, sono le palle in R^n; in altre parole queste hanno volume maggiore rispetto a qualunque altro insieme in R^n, a parità di diametro. Infine, nella prima appendice, è presente una dimostrazione alternativa della disuguaglianza isodiametrica nel caso bidimensionale e, nella seconda appendice, grazie alle definizioni e proprietà della misura di Hausdorff trattate, si vede un esempio di frattale matematico: l’insieme di Cantor, e il calcolo esplicito della sua misura di Lebesgue e dimensione di Hausdorff.