Structure theorem for finitely generated modules over Principal Ideal Domains, the Jordan-Hölder theorem and the Extension Problem

Questa tesi si pone come obiettivo la presentazione di alcuni risultati importanti in algebra lineare e in teoria dei gruppi. I primi due risultati sono i teoremi di struttura per gruppi abeliani finitamente generati e moduli finitamente generati su domini a ideali principali. Questi due teoremi hanno interessanti applicazioni in altri ambiti della matematica come la topologia algebrica (numeri di Betti) e in geometria algebrica (il teorema di Mordell–Weil e la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer). Dopo questi risultati, si passa al teorema di Jordan-Hölder, discusso nei casi di rappresentazioni e moduli di algebre associative su campi e di gruppi finiti, il quale consente di "decomporre" una struttura tramite strutture più "semplici" (o irriducibili). Una prima versione di questo teorema è stata dimostrata da Camille Jordan nel 1870 mentre la sua versione definitiva per gruppi finiti è stata dimostrata da Otto Hölder nel 1889. Il teorema può essere esteso in diverse direzioni, dai gruppi con operatori alle categorie abeliane. Una conseguenza del Teorema di Jordan-Hölder nel caso dei gruppi finiti è il Programma di Hölder consistente di due punti: la classificazione dei gruppi finiti semplici e la classificazione di tutte le possibili estensioni di un gruppo finito G per un altro gruppo finito H, per ogni coppia G,H. Il completamento di questo programma porterebbe alla classificazione completa dei gruppi finiti. Nell'ultima parte della tesi presentiamo, quindi, le basi della teoria delle estensioni di gruppi, introducendo la coomologia di gruppi e presentando la dimostrazione del Teorema di Shreirer del 1926 sulla classificazione delle estensioni abeliane e il Lemma di Schur-Zassenhaus sulla classificazione delle estensioni di gruppi finiti con ordini coprimi.