Tecniche e metodi per le Equazioni Differenziali Stocastiche di McKean-Vlasov

L'argomento di questa tesi è una classe di equazioni differenziali stocastiche (SDEs), dette SDEs di McKean-Vlasov (MKV). Esse differiscono dalle SDEs standard in quanto i loro coeffcienti possono dipendere dalla legge della soluzione, oltre che dal tempo e dal valore di quest'ultima. Queste equazioni sono oggi utilizzate in diversi campi applicativi: vi sono applicazioni al machine learning, alle neuroscienze e soprattutto all'economia e alla finanza; per questa ragione, negli ultimi vent'anni, esse sono state ragione di interesse sia dal punto di vista teorico che numerico. Nel Capitolo 1 si considera un esempio lineare di MKV, di cui si mostra l'unicità, l'esistenza e la proprietà nota come propagazione del chaos: in breve, nel considerare uno specifico sistema di particelle, la singola particella smette di interagire con il resto del sistema quando esso è molto popoloso, convergendo alla soluzione della MKV. Tale risultato, insieme alla buona posizione della MKV è alla base di algoritmi numerici usati per simulare la legge della soluzione mediante la legge empirica del sistema di particelle. Il resto della tesi è dedita invece alle equazioni condizionate, equazioni MKV in cui la dipendenza rispetto alla misura avviene considerando la probabilità di una componente condizionata ad un'altra. In particolare verrà studiata un'equazione condizionata seguendo il lavoro di M. Bossy, J.F. Jabir e D. Talay in "On conditional Mc-Kean Lagrangian stochastic model". Nel Capitolo 2 viene introdotto il problema, il suo regolarizzato, il sistema di particelle e si enunciano i risultati principali. Nel Capitolo 3 viene mostrata l'unicità della soluzione e del suo legame con la SDE di Langevin. Infine il Capitolo 4 affronta la questione dell'esistenza del problema regolarizzato e quindi anche del problema originale, mostrando al tempo stesso, un risultato di propagazione del chaos.