Lie bialgebras and Etingof-Kazhdan quantization

In questa tesi viene presentata la soluzione data da Pavel Etingof e David Kazhdan al problema della quantizzazione delle bialgebre di Lie, formulato da Vladimir Drinfeld nel 1992. Il problema consiste nel trovare un funtore che, data una bialgebra di Lie, costruisca una algebra di Hopf che la quantizzi. Nel primo capitolo vengono presentati gli aspetti di teoria delle categorie necessarie per la lettura. Nel secondo capitolo, introduciamo le nozioni di algebra, coalgebra, bialgebra e algebra di Hopf, con particolare attenzione alla loro teoria delle rappresentazioni. Nel terzo capitolo, presentiamo le nozioni base della teoria delle algebre di Lie, per poi definire le nozioni di coalgebra di Lie e di bialgebra di Lie. Vengono quindi definite le triple di Manin e il doppio di Drinfeld di una bialgebra di Lie. Nel quarto capitolo definiamo la nozione di quantizzazione di una bialgebra di Lie, e presentiamo i quantum groups di Drinfeld e Jimbo, che ne sono un esempio nel caso delle algebre di Kac-Moody simmetrizzabili. Infine, nel quinto ed ultimo capitolo presentiamo la costruzione della quantizzazione di Etingof e Kazhdan. Tale tecnica di quantizzazione si suddivide in diversi passi, ed è basata sulla dualità di Tannaka-Krein. In un primo momento, analizziamo il caso in cui la bialgebra di Lie è di dimensione finita. In seguito, adattiamo la costruzione del caso finito dimensionale al caso infinito dimensionale.