Funzioni a Variazione limitata e insiemi di Perimetro minimo

Questa Tesi si propone di trattare parte della teoria di tali Spazi BV, seguendo principalmente la presentazione di Evans e Gariepy, per poi arrivare nell’ultimo capitolo dimostrare un Teorema di esistenza di insiemi di perimetro minimo, date determinate condizioni al contorno. Per quest'ultimo risultato si fa riferimento a Giusti. Nel primo capitolo si introducono gli Spazi BV e viene data una definizione di insiemi di perimetro finito. Si dimostra il Teorema di Struttura che garantisce che le derivate in senso distribuzionale delle funzioni f in BV sono misure di Radon, per poi dare a BV una struttura di Spazio normato. Il capitolo si conclude con un confronto tra gli Spazi BV e gli Spazi di Sobolev. Il capitolo 2 inizia con la dimostrazione della semicontinuità inferiore della misura variazione. All'interno di questo capitolo si dimostra anche il Teorema di Anzellotti-Giaquinta, una generalizzazione del Teorema di Meyers-Serryn nello Spazio delle funzioni BV che permette di approssimare ogni funzione a variazione limitata tramite funzioni lisce. Il terzo capitolo è interamente dedicato allo studio del funzionale di "Traccia", utile per controllare il "comportamento al bordo" per funzioni con una certa regolarità fino alla frontiera dell'insieme in cui sono supportate. Nel quarto capitolo vengono generalizzate le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré alle funzioni BV. Fatto ciò, vengono dimostrate la disuguaglianza isoperimetrica e una sua versione locale. Nel quinto ed ultimo capitolo infine si vuole dare un esempio di problema che è stato risolto grazie all'introduzione degli Spazi BV. Il problema è quello di mostrare l'esistenza e l'unicità di un insieme di perimetro minimo tra un insieme di insiemi che rispettino una stessa condizione al contorno. Per fare ciò si sfrutta un metodo diretto del calcolo delle variazioni che si avvale principalmente dei risultati di semicontinuità inferiore e di Compattezza mostrati nel capitolo 2.