Equazione del calore

L'obiettivo di questa tesi è lo studio dell'equazione del calore. Come accade per molti fenomeni fisici, anche per la diffusione del calore risulta utile trovare un modello matematico che lo descriva in modo fedele e che ne riassuma le principali caratteristiche. Questo modello, nel caso della diffusione del calore assume la forma di un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine, chiamata equazione del calore. Nel primo capitolo di questa tesi vedremo come nasce il modello per la diffusione del calore. Nel capitolo 2 definiremo l'equazione del calore e la soluzione fondamentale, che utilizzeremo poi per ricavare la soluzione del problema di Cauchy omogeneo e non omogeneo. Successivamente ci occuperemo di individuare le formule di media per le funzioni caloriche. Nel capitolo 3 vedremo il principio di massimo debole e l'unicità della soluzione, che ne è una diretta conseguenza. Inoltre proveremo un risultato più preciso, il principio di massimo forte. Nell'ultimo capitolo torneranno utili le formule di media viste nel capitolo 2, grazie a esse enunceremo e dimostreremo la disuguaglianza di Harnack. Infine, servendoci di quest'ultima, proveremo il Teorema di Liouville per le funzioni caloriche.