On the representation of linear group equivariant operators

Negli ultimi anni si è sviluppato un crescente interesse verso l'apprendimento automatico e l'analisi topologica dei dati. Un possibile approccio nello studio dell'analisi topologica dei dati sfrutta l'utilizzo di operatori equivarianti rispetto all'azione di un gruppo, detti GEO. Tali operatori sono utili sia per approssimare la pseudo-distanza naturale tramite un approccio che coinvolge anche l'omologia persistente, uno strumento chiave nell'analisi topologica dei dati, sia per studiare in ambito topologico-geometrico le reti neurali, che possono essere decomposte in GEO. Un problema cruciale è la costruzione di classi di GEO, al fine di approssimare lo spazio di tutti gli operatori. In questa tesi viene approfondito lo studio dei GEO lineari. Nel primo capitolo studieremo il contesto matematico in cui la ricerca si sviluppa e definiremo GEO e GENEO (operatori non espansivi ed equivarianti rispetto all'azione di un gruppo). Nel secondo capitolo introdurremo il concetto di misura permutante, tramite cui vedremo come si possa costruire un GEO lineare. Il terzo capitolo invece si svilupperà sulla rappresentabilità dei GEO lineari. Vedremo infatti che, sotto opportune ipotesi, ogni GEO lineare può essere associato a una misura permutante.