Il fenomeno di Gibbs

Questa trattazione ha lo scopo di fornire una spiegazione matematica del fenomeno di Gibbs, il quale si verifica quando sono presenti forti oscillazioni nei polinomi di Fourier di una funzione con discontinuità di prima specie. Osserveremo che queste peculiarità, che si trovano vicino ai punti di discontinuità della funzione, non diminuiscono aumentando il grado del polinomio, tanto che la serie sembra non convergere alla funzione sviluppata. Vedremo che un modo per far scomparire questo fenomeno è quello di utilizzare un altro tipo di polinomi trigonometrici, cioè quelli di Fejér, al posto di quelli di Fourier. Di solito però si preferisce utilizzare comunque il polinomio di Fourier per la rappresentazione della funzione, anche se può portare a queste anomalie, perché è il polinomio trigonometrico che meglio approssima la funzione in norma quadratica. Diremo che lo studio di questo fenomeno è molto attuale, perché in tutti i processi di approssimazione, quali per esempio la ricostruzione o il filtraggio di immagini e segnali, bisogna tener controllate queste particolari oscillazioni descritte sopra, cercando di eliminarne il più possibile.