A random matrix theory approach to complex networks

Si presenta un approccio matematico formale ai complex networks tramite l'uso della Random Matrix Theory (RMT). La legge del semicerchio di Wigner viene presentata come una generalizzazione del Teorema del Limite Centrale per determinati ensemble di matrici random. Sono presentati inoltre i principali metodi per calcolare la distribuzione spettrale delle matrici random e se ne sottolineano le differenze. Si è poi studiato come la RMT sia collegata alla Free Probability. Si è studiato come due tipi di grafi random apparentemente uguali, posseggono proprietà spettrali differenti analizzando le loro matrici di adiacenza. Da questa analisi si deducono alcune proprietà geometriche e topologiche dei grafi e si può analizzare la correlazione statistica tra i vertici. Si è poi costruito sul grafo un passeggiata aleatoria tramite catene di Markov, definendo la matrice di transizione del processo tramite la matrice di adiacenza del network opportunamente normalizzata. Infine si è mostrato come il comportamento dinamico della passeggiata aleatoria sia profondamente connesso con gli autovalori della matrice di transizione, e le principali relazioni sono mostrate.