I Grundlagen der Geometrie

Nel 1899 il matematico David Hilbert pubblicava i Grundlagen der Geometrie, tradotto in italiano con i Fondamenti della geometria. Lo scritto aveva lo scopo di dare una nuova formalizzazione assiomatica alla Geometria, superando i limiti di tutte le trattazioni precedenti. La struttura di questa tesi prevede lo studio dei Fondamenti, anche in un'ottica di confronto con il loro principale antecedente: gli Elementi di Euclide. Si opererà quindi una contestualizzazione storica degli Elementi, del loro autore e della matematica greca in generale; se ne presenterà la struttura generale e si approfondiranno alcuni degli elementi cardine del metodo assiomatico che li ha caratterizzati (postulati e struttura logico-deduttiva), mostrando anche i loro limiti e le loro mancanze, le quali hanno portato, oltre duemila anni dopo, Hilbert a scrivere i suoi Fondamenti. Venendo ai Fondamenti: se ne studierà la particolare struttura assiomatica, confrontandola con quella di Euclide, in particolare nel passaggio da una geometria degli enti ad una delle relazioni. Si studierà il nuovo sistema di assiomi proposto da Hilbert, vedendo in che modo integra, e poi supera, quello degli Elementi. In questo senso si vedrà come siano stati corretti i difetti della trattazione euclidea e di come sia stato possibile allo stesso tempo ricostruire rigorosamente la geometria degli Elementi. Si vedranno poi alcuni aspetti più strettamente logici, come la coerenza, l'indipendenza e la categoricità del nuovo sistema di assiomi, arrivando a toccare anche il progetto del Programma di Hilbert e il suo fallimento a seguito della formulazione dei due teoremi di Gödel.