La dimensione di Hausdorff e tecniche di calcolo.

L'obiettivo della tesi è quello di mostrare la costruzione della dimensione di Hausdorff, per poi presentarne alcune tecniche di calcolo e stima.Nel primo capitolo enunciamo i principali risultati di teoria della misura, utili per definire la premisura di Hausdorff da cui si ricava la misura alpha-dimensionale di Hausdorff, che si verifica essere una misura esterna. Dopo aver dimostrato alcune proprietà fondamentali di questa potremo, quindi,definire la dimensione di Hausdorff e descriverne il comportamento in relazione a isometrie e a mappe lipschitziane. Il primo capitolo termina con il calcolo della dimensione di alcuni fra i più noti e semplici frattali. Il secondo capitolo si pone, invece, come obiettivo quello di esporre tecniche di calcolo della dimensione di Hausdorff. In prima istanza, viene definita la dimensione di box-counting, utilizzata per stimare dall'alto la dimensione di Hausdorff, mentre, a fine capitolo, si presenta il metodo del potenziale teorico, utile per la stima dal basso. Nell'ultimo capitolo si prendono in considerazione gli insiemi autosimilari, per i quali è possibile stimare la dimensione di Hausdorff sotto certe ipotesi. Il principale scopo, quindi,di questo elaborato è quello di presentare alcune tecniche di stima e di calcolo della dimensione di Hausdorff. Il filo conduttore della tesi è dato da alcuni esempi noti di frattali come l'insieme di Cantor e la curva di Koch, di cui viene calcolata la dimensione prima manualmente, per poi farlo con le tecniche mostrate.