Sulla mappa di Riemann per i poligoni

Il teorema della mappa di Riemann afferma che gli insiemi aperti semplicemente connessi contenuti strettamente nel piano complesso sono biolomorfi al disco unitario. Quando l'aperto semplicemente connesso di cui si parla è un poligono, è possibile trovare una formula esplicita del biolomorfismo. Questo elaborato si propone di studiare alcuni aspetti di tale formula. Viene quindi definita la formula di Schwarz-Christoffel e si mostra che essa si estende con continuità sul bordo del disco unitario. Successivamente, si utilizza la caratterizzazione delle rette quali curve a curvatura nulla per dimostrare che la formula in questione mappa tratti del bordo del disco in segmenti rettilinei. Infine, ci si avvale della definizione di indice di una curva rispetto ad un punto e del principio dell'argomento come strumenti fondamentali per la dimostrazione del fatto che la restrizione della formula di Schwarz-Christoffel al disco unitario è un biolomorfismo.