Lagrangiane di ordine superiore e sistemi instabili

Quando nella descrizione di un sistema fisico si fa uso del secondo principio della dinamica di Newton, si ottengono equazioni del moto che contengono al massimo derivate del secondo ordine rispetto al tempo. Quando le equazioni vengono ricavate da principi variazionali tramite la funzione Lagrangiana, si richiede che questa contenga al massimo derivate prime delle coordinate in modo tale che le equazioni del moto siano al massimo di ordine due. La motivazione che porta a rispettare questa limitazione proviene dai lavori di Mikhail Ostrogradsky il quale, nella sua formulazione del formalismo Hamiltoniano proveniente da Lagrangiane con derivate superiori al primo ordine mostra come la funzione Hamiltoniana soffra di una particolare instabilità, data dalla sua dipendenza lineare nei momenti. Sono stati riportati i risultati originali di Ostrogradsky che si applicano a Lagrangiane non degeneri, seguiti da alcuni esempi che illustrano le problematiche che si presentano. Al fine di studiare l’instabilità si rende necessaria una analisi e una classificazione dei tipi di vincoli che possono essere presenti; si arriverà alla conclusione che l’unico modo per poter rimuovere la instabilità è dato dall’inserire vincoli nello spa zio delle fasi che possano limitare le variabili responsabili della patologia. Sarà preso in esame il caso delle Lagrangiane non degeneri di ordine due per le quali si mostreranno le condizioni sotto le quali la patologia possa essere curata. Infine viene introdotto il ruolo delle Lagrangiane degeneri dalle quali discendono i sistemi descritti da equazioni del moto di ordine dispari.