Deep Learning and Nonlinear PDEs in High-Dimensional Spaces

Questa tesi è incentrata sull'analisi di un algoritmo che permette di approssimare una soluzione per PDE ad alta dimensionalità. Tale algoritmo utilizza le nuove tecniche sviluppate in ambito della teoria delle Reti Neurali (Deep Learning) per affrontare un problema di difficile risoluzione. Il problema principale che affligge i modelli governati da PDE semilineari paraboliche in dimensione 100 prende il nome di "maledizione della dimensionalità". Questo non permette di utilizzare algoritmi deterministici come Galerkin o Elementi Finiti, poichè il costo computazionale cresce esponenzialmente rispetto alla dimensione del problema. La non linearità invece rende impossibile l'utilizzo di metodi probabilistici di tipo Monte Carlo. L'introduzione di algoritmi di Machine Learning permette di superare questi problemi con facilità e con ottimi risultati. Le performance di questo algoritmo sono state testate su un problema pratico di finanza matematica: la risoluzione dell'equazione di Black e Scholes per il prezzo delle opzioni Europee con rischio di default.