Contraibilità dell'Outer Space

Molti problemi rimangono aperti riguardo il gruppo degli automorfismi di un gruppo libero finitamente generato, primo fra tutti il problema del coniugio e la sua decidibilità. Un ottimo modo per studiare un gruppo è trovare uno spazio con buone proprietà su cui questo agisca e realizzarlo quindi come gruppo di simmetrie di tale spazio. Su quest’onda l’Outer Space nasce dall’esigenza di studiare il gruppo degli automorfismi di un gruppo libero finitamente generato. Questo spazio ha molte analogie con lo spazio di Teichmuller di una superficie, che parametrizza le strutture complesse su di essa. Un punto dell'Outer space relativo al gruppo libero su n elementi è sostanzialmente dato da un grafo metrico con gruppo fondamentale isomorfo a quest'ultimo e un fissato isomorfismo. Il gruppo degli automorfismi del gruppo libero su n elementi agisce sull'Outer space modificando questo isomorfismo. Per poter studiare il gruppo degli automorfismi di un gruppo libero finitamente generato mediante l'Outer space è utile conoscere alcune basilari proprietà geometriche di quest'ultimo. In questo elaborato ne dimostriamo la contraibilità.