Sistemi di coordinate regolari per la soluzione di Schwarzschild

In questo elaborato si vuole studiare la soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto nell’ambito della teoria della Relatività Generale. In particolare si esaminano i sistemi di coordinate regolari che descrivono la soluzione senza la singolarità nel raggio di Schwarzschild Rs. Nel Capitolo 1 si studiano i principi di base che hanno portato alla formulazione della teoria di Relatività Generale. Con l’aiuto di strumenti della geometria differenziale e introducendo il tensore energia-impulso si ricavano le equazioni di campo. Il Capitolo 2 descrive la soluzione di Schwarzschild nel vuoto, per sorgenti di campo a simmetria sferica. Si studiano in particolare le geodetiche radiali nulle descritte in coordinate di Schwarzschild e si osserva il comportamento singolare in prossimità di Rs. Si analizza quindi la natura della singolarità e si introduce il concetto di orizzonte degli eventi. Nel Capitolo 3 infine si introducono vari sistemi di coordinate che descrivono la soluzione di Schwarzschild senza singolarità in Rs e ne estendono il dominio. In particolare si ricavano le coordinate di Eddington-Finkelstein per descrivere geodetiche radiali nulle che abbiano un moto regolare in Rs e si studia anche la soluzione che corrisponde all’inversione temporale, definendo quindi le regioni di buco nero e buco bianco. Si studiano inoltre le coordinate introdotte da Painlevé e Gullstrand per osservatori in caduta radiale con velocità iniziale nulla, in particolare si studiano le due soluzioni per entrambe le direzioni del moto degli osservatori. Si studia poi una famiglia di coordinate a un parametro che generalizza le coordinate PG e si dimostra che anche le EF vi appartengono. Infine si ricavano le coordinate di Kruskal-Szekeres come estensione massimale della soluzione di Schwarzschild.