L1-norm based regularization for a non linear imaging model tomography

Digital tomosynthesis is a technique that allows the reconstruction of any slice of a 3D object thanks to a certain number of 2D projections. The mathematical model for tomosynthesis was simplified until 2010. X-ray beam was considered to be monoenergetic and the object to be made up of one material. In this paper we consider the multimaterial polyenergetic model. The polyenergetic model requires solving a large-scale, nonlinear inverse problem, which is more expensive than the typically used simplified, linear monoenergetic model. Inverse problems requires a regularization in order to be stabilized and solved. In this paper we consider two types of regularization: the first based on the L1-Norm of the solution and the second based on the L1-Norm of the gradient of the solution (Total Variation). We'll, then, solve the regularized problem using two iterative methods: the Gradient method and a Non Linear Hybrid Conjugate Gradient method. La Tomosintesi Digitale è una tecnica in grado di ricostruire un qualsiasi numero di sezioni di un oggetto tridimenionale partendo da un insieme di proiezioni 2D. Fino al 2010 il modello matematico alla base della tomosintesi veniva semplificato. Il fascio di raggi X veniva considerato monoenergetico e l’oggetto composto di un solo materiale. In questo lavoro considereremo il modello polienergetico e multimateriale. Il modello polienergetico richiede la soluzione di un problema inverso di grandi dimensioni, la cui risoluzione è molto più complessa del problema ottenuto dal modello monoenergetico lineare. I problemi inversi richiedono un regolarizzazione per essere stabilizzati e risolti. Noi consideriamo due tipi di regolarizzazione: la prima basata sulla Norma L1 della soluzione e la seconda sulla Norma L1 del gradiente della soluzione (Variazione Totale). Risolveremo, poi, il problema regolarizzato utilizzando due metodi iterativi: Il metodo del Gradiente e un metodo del Gradiente Coniugato Non Lineare Ibrido.